Почему люди полагают, что нельзя мыться в религиозные праздники?

Ну, не то чтобы - совсем нельзя мыться.

Православные (как правило) проводили праздничный день в храме, а не в бане.

Просто всему свое время. В будни православные трудились, перед праздником - в бане мылись, а на праздник - в храме Богу молились.

В православной традиции, день начинается не с утра, а с вечера предыдущего дня.

Мылись в бане, перед походом на вечернюю службу (всенощную), а перед утренней службой (Литургией) - обычные каждодневные гигиенические процедуры.