ЛягушИчка или лягушЕчка — как правильно писать и почему?

Пишите лучше "жабка".

А если серьёзно, то лягушечка, потому что уменьшительно-ласкат­ельный суффикс -ечк пишется для слов женского и среднего рода, которые во множественном числе имеют суффикс -ек (лягушЕК), -ичк — суффик -иц (пуговиц - пуговичек), а суффикса -ычк и вовсе не существует.