Как пишется легкомысленный­ или легкомысленый­? Какое правило?

Прилагательное, о котором Вы спрашиваете, правильно писать в соответствии с первым предположенным Вами вариантом - "легкомысленный­". А правило такое: в суффиксах -енн- и -онн- отымённых прилагательных пишется двойная Н.