Как правильно пишется: застегать или застигать? Почему? Какое правило?

Правильно будет "застигать". Проверочное слово "застИгнуть".

Это правило русского языка: Проверяемые безударные гласные в корне слова.Есть еще и непроверяемые, чередующиеся гласные в корне слова, но это уже совсем "другая история".