В чем смысл первой производной?

У неё есть несколько смыслов: математический, физический, геометрический.

Математический смысл - это определение первой производной как предела отношения Δy/Δx при Δx → 0. Физический - (мгновенная) скорость изменения функции. Геометрический - производная в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Ну и есть некий "философский" смысл. Производная - мощнейший инструмент исследования функций. И поскольку многим функциям соответствует какой-то реальный физический процесс, то производная оказывается мощным инструментом исследования таких процессов.

Помнится, нам начиная со школы вдалбивали цитату Энгельса про декартову систему координат - мол, с ней в математику пришла диалектика, пришло движение. Так вот - ни фига. Диалектика, может, и пришла (она оттуда, собсно, и не уходила), но вот движение в математику пришло именно с введением понятия производной.