Больничный, бюллетень или листок нетрудоспособности - как правильно писать?

Все три указанных вами выражения по сути обозначают одно и тоже.

Слово "больничный" является сленгом, и употребляется в устной простонародной речи, для того чтобы сократить длинное и официальное выражение - временная нетрудоспособность, в связи с заболеванием работника.

Больничный листок - листок нетрудоспособности - это медицинский документ, который подтверждает временную нетрудоспособность работника.

А вот слово "бюллетень" имеет несколько значений и для определения четкости понимания должно быть с связке со другим словом.

Так, слово бюллетень, в первом случае обозначает, больничный лист.

Во втором значении, бюллетень имеет понятие — краткое официальное сообщение.

И, в третьем значении, бюллетень — это информационное периодическое издание с краткой справочной информацией,например­, биржевой бюллетень.

В официальном делопроизводстве граммотно будет указать:

В связи с временной нетрудоспособностью Петрова И.И. поручить исполнение его обязанностей Иванову П.П.

А по поводу

пошел на больничный - обозначает - заболел,

открыл лист нетрудоспособности или оформил лист нетрудоспособности - это действия, которые выполняет не заболевший работник (сотрудник), а его лечащий врач, который только подтверждает заболевание (нетрудоспособность) сотрудника вашей организации,а сам является сотрудником медицинского учереждения (а не вашего).

взял бюллетень - фактически работник может взять бюллетень, только после его закрытия, то есть указания в нем даты окончания заболевания (или даты выздоровления), поэтому данное выражение хоть все и понимают, что оно подразумевает "работник заболел", но по сути оно обозначает, что работник выздоровел и после какого-то периода заболевания он взял (забрал) бюллетень.

Поэтому эти дополнительно указанные вами выражения в официальном делопроизводстве и официальных приказах не используются. Вернее их использование в официальном делопроизводстве будет неграмотно и не корректно.