Как пишется: пересчет или перещет? Почему?

Правильно писать - пересчёт. Слово "пересчёт" - это сложное слово, образованное словом "счёт" и приставкой "пере-", обозначающую превышение чего-то, либо процесс повторного действия, сначала был счёт, затем был пересчёт. Есть проверочное слово "расчётный", где чётко (звонко) слышно сочетание букв "-сч-". Буква "щ" встречается у некоторых существительных вначале слова (щука, щепка, щетина), в середине слова (перед суффиксом) у страдательных причастий (обещанный, перемещённый, прощённый). Буква "щ" пишется при чередовании "-ск-" - искать - ищу, при чередовании "-ст" - простой - проще, густой - гуще (переход от прилагательного в наречие).