Можно ли без проблем поступить в аспирантуру в другом ВУЗе?

Да, можно. Конечно, конкурсные процедуры и экзамены проходить также придется, но никаких препятствий к тому, чтобы поменять вуз при поступлении в аспирантуру, официально быть не должно. Другое дело - неофициальное сочувствие "своим" кандидатам на аспирантские места.