Почему говорят, что заживёт, как на кошке?

Не "на кошке", а на "собаке". Потому что собака, как и многие другие животные, зализывает свои раны, но в отличие от "многих других" у собаки слюна СТЕРИЛЬНАЯ, поэтому и заживает все быстро. Во вторую мировую войну даже были случаи применения собак для зализывания ран у солдат.