Как пишется: по звериному или по-звериному?

Сочетание "по...звериному" может оказаться как прилагательным "звериный" с предлогом "по", так и наречием. Во втором случае это и не сочетание, а одно слово.

Если вы видим в предложении такие, например, фрагменты как: (по какому?) "по звериному следу", "по звериному оскалу", "по звериному обличью", то "по" пишут в отдельности от формы "звериному", поскольку она относится к прилагательным.

Если же в предложении встретились сочетания "по-звериному взвыл", "по-звериному оскалилась" и подобные, то слово "по-звериному", которое пишется с дефисом после "по", является отвечающим на вопрос "как?" наречием.

Для справки: Слитно ("позвериному") не пишется вообще никогда.