Почему любое число в пятой степени кончается на ту же цифру?

Видимо, вопрос относится к числам, записанным в десятичной системе счисления.

Такое число можно представить в виде суммы

a0+a1*10^1+a2*10^2+.­.. с конечным числом членов, где 0<=ai<9.

Эту сумму можно представить в виде:

a0 + 10*(a1+a2*10+...)

Если эту сумму возвести в 5ю степень, то, по биному Ньютона, результат можно записать в виде:

a0^5+5*a0^4*10*(a1+1­0a2+...)+10*a0^3*10^2­*(...)^2+10*a0^2*10^3­*(...)^3+5*a0*10^4*(.­..)^4+10^5*(...)^5

Все члены этой суммы, кроме первого, содержат 10 в некоторой ненулевой степени, поэтому они заканчиваются на 0. Следовательно, последняя цифра записи десятеричной суммы совпадает с последней цифрой a0^5.

Перебором нетрудно убедиться, что для любых a0 (от 0 до 9) последняя цифра a0^5 совпадает с a0, поэтому также совпадает и с последней цифрой числа

(an...ai...a2a1a0)^5­.