Как пишется: по городу Москва или по городу Москве?

Если мы говорим по-русски, то безусловно «по городу Москве» правильно.

Однако! В период Русско-японской войны появилась традиция не склонять в донесениях, рапотах и прочих реляциях географические названия свои и противника во избежании путаницы.

Поэтому в протоколах, договорах, рапортах правильно писать «в г. Москва», «в д. Володино», «по г. Москва». Но это относится только к делопроизводству, в котором много казенностей, противоречащих правилам русского языка из чистой целесообразности. Они очень часто перетекают в обыденную речь.