Landarn
7 год назад
На краю свободно вращающейся карусели стоит человек массой m. Какую работу должен совершить человек, чтобы перейти к центру карусели ? Радиус карусели R.
Задачи номер 10.14 и 10.15 , пожалуйста, буду очень благодарен
ОТВЕТЫ
Болеслав
Jul 18, 2019
10.14.
Момент импульса системы измениться не может, поскольку карусель движется по инерции без внешних воздействий.
Если домножить кинетическую энергию вращения Eк на момент инерции J – то мы получим половину квадрата момента импульса, а эта величина, что очевидно, так же неизменна. Итак:
JEк = const ;
Jo Eкo = J Eк ;
Вначале: Jo = I + mR² + Io ;
В конце: J = I + Io , где Io – вертикальный момент инерции человека.
Eк = Eкo Jo/J ;
На увеличение энергии потребуется работа:
A = Eк – Eкo = Eкo Jo/J – Eкo = Jo ω²(Jo–J)/[2J] ;
A = ( I + mR ² + Io ) mR²ω² / [ 2 (I+Io) ] = ( 1 + mR²/[I+Io] ) mR²ω²/2 ;
Карусель вместе с человеком в центре – начнёт крутиться быстрее. Это произойдёт потому, что переходя в более близкие к центру участки, которые движутся с меньшей мгновенной линейной скоростью – человеку тоже придётся немного сбрасывать мгновенную линейную скорость (для этого ему придётся немного отклоняться вбок, против хода карусели, а иначе его занесёт по её ходу). Из-за того, что человек будет сбрасывать мгновенную линейную скорость – он будет передавать свой мгновенный линейный импульс карусели, раскручивая её. Эту силу инерции в неинерциальных системах отсчёта – называют силой Кориолиса.
Из соотношения следует любопытные выводы:
1) Если карусель достаточно массивна, то работа человека равна его начальной кинетической энергии.
2) Если масса человека равна моменту инерции карусели, делённому на её радиус, то работа, которую совершает человек – примерно вдвое больше начальной кинетической энергии человека (или карусели – т.к. эти величины равны).
3) Если карусель чрезвычайно лёгкая конструкция – то работа, которую должен совершить человек по отношению к его начальной кинетической энергии – кратна квадрату отношения радиуса карусели к средне-инерционному радиусу своего тела. Т.е. в случае лёгкой карусели, такая работа может быть и в 25 и в 100 раз больше его начальной кинетической энергии. Т.е. по лёгкой карусели очень сложно пробираться в её центр. Довольно поразительно – но факт.
Момент инерции человека Io – величина не совсем устойчивая, поскольку человек меняет свою позу, и с ней меняется Io, поэтому его учёт достаточно условен. А если известно, что среднее значение Io пренебрежимо мало по сравнению с I и mR², то мы обоснованно можем этим значением пренебречь:
A = (1+mR²/I) mR²ω²/2 .
10.15.
Импульс сохраняется, поэтому:
mv = Mo V , где Mo – суммарная масса, а V – скорость центра масс доски и пули.
m²v²/2 = Mo² V²/2 ;
Екл = Mo V²/2 = [m/Mo] mv²/2 ;
Екл = [m/Mo] Eкo , где Eкo – начальная кинетическая энергия, а Eкл – кинетическая энергия конечного совместного линейного движения центра масс доски и пули.
Момент импульса в системе центра масс сохраняется, поэтому:
m vц L/4 = Jω , где vц – скорость пули в системе центра масс, J = Mo L²/12 – момент инерции доски относительно центра масс, а L/4 = L/2 – L/4 – расстояние от центра масс доски длины L до места попадания пули (смещением центра масс пренебрегаем, поскольку m lt;lt; M).
m² vц² L² /32 = J²ω²/2 ;
Eкв = Jω²/2 = m² vц² L² / [32J] = m² vц² L² / [ 32 Mo L² / 12 ] = 3m/[4Mo] m vц²/2 ;
Поскольку vц = v – V = v – v m/Mo = v ( 1 – m/Mo ) = v M/Mo ≈ v , то пренебрегая отличием vц от v мы поручим ошибку второго порядка малости, а при условии m lt;lt; M – такое пренебрежение полностью оправдано.
Eкв = 3m/[4Mo] Eкo , где Eкв – кинетическая энергия конечного совместного вращения доски с пулей.
Общая кинетическая энергия конечного совместного движения доски с пулей сложится из кинетической энергии совместного линейного движения и совместного вращения:
Eк = Eкл + Eкв = [m/Mo] Eкo + 3m/[4Mo] Eкo = 7m/[4Mo] Eкo ;
Учитывая, что Mo = M + m = M ( 1 + m/M ) ≈ M , поскольку m lt;lt; M , имеем:
Конечная кинетическая энергия: Eк ≈ 7m/[4M] mv²/2 ≈ 7m²v²/[8M] ;
Кинетическая энергия, перешедшая во внутреннюю: K ≈ (1–7m/[4M]) mv²/2 .
Момент импульса системы измениться не может, поскольку карусель движется по инерции без внешних воздействий.
Если домножить кинетическую энергию вращения Eк на момент инерции J – то мы получим половину квадрата момента импульса, а эта величина, что очевидно, так же неизменна. Итак:
JEк = const ;
Jo Eкo = J Eк ;
Вначале: Jo = I + mR² + Io ;
В конце: J = I + Io , где Io – вертикальный момент инерции человека.
Eк = Eкo Jo/J ;
На увеличение энергии потребуется работа:
A = Eк – Eкo = Eкo Jo/J – Eкo = Jo ω²(Jo–J)/[2J] ;
A = ( I + mR ² + Io ) mR²ω² / [ 2 (I+Io) ] = ( 1 + mR²/[I+Io] ) mR²ω²/2 ;
Карусель вместе с человеком в центре – начнёт крутиться быстрее. Это произойдёт потому, что переходя в более близкие к центру участки, которые движутся с меньшей мгновенной линейной скоростью – человеку тоже придётся немного сбрасывать мгновенную линейную скорость (для этого ему придётся немного отклоняться вбок, против хода карусели, а иначе его занесёт по её ходу). Из-за того, что человек будет сбрасывать мгновенную линейную скорость – он будет передавать свой мгновенный линейный импульс карусели, раскручивая её. Эту силу инерции в неинерциальных системах отсчёта – называют силой Кориолиса.
Из соотношения следует любопытные выводы:
1) Если карусель достаточно массивна, то работа человека равна его начальной кинетической энергии.
2) Если масса человека равна моменту инерции карусели, делённому на её радиус, то работа, которую совершает человек – примерно вдвое больше начальной кинетической энергии человека (или карусели – т.к. эти величины равны).
3) Если карусель чрезвычайно лёгкая конструкция – то работа, которую должен совершить человек по отношению к его начальной кинетической энергии – кратна квадрату отношения радиуса карусели к средне-инерционному радиусу своего тела. Т.е. в случае лёгкой карусели, такая работа может быть и в 25 и в 100 раз больше его начальной кинетической энергии. Т.е. по лёгкой карусели очень сложно пробираться в её центр. Довольно поразительно – но факт.
Момент инерции человека Io – величина не совсем устойчивая, поскольку человек меняет свою позу, и с ней меняется Io, поэтому его учёт достаточно условен. А если известно, что среднее значение Io пренебрежимо мало по сравнению с I и mR², то мы обоснованно можем этим значением пренебречь:
A = (1+mR²/I) mR²ω²/2 .
10.15.
Импульс сохраняется, поэтому:
mv = Mo V , где Mo – суммарная масса, а V – скорость центра масс доски и пули.
m²v²/2 = Mo² V²/2 ;
Екл = Mo V²/2 = [m/Mo] mv²/2 ;
Екл = [m/Mo] Eкo , где Eкo – начальная кинетическая энергия, а Eкл – кинетическая энергия конечного совместного линейного движения центра масс доски и пули.
Момент импульса в системе центра масс сохраняется, поэтому:
m vц L/4 = Jω , где vц – скорость пули в системе центра масс, J = Mo L²/12 – момент инерции доски относительно центра масс, а L/4 = L/2 – L/4 – расстояние от центра масс доски длины L до места попадания пули (смещением центра масс пренебрегаем, поскольку m lt;lt; M).
m² vц² L² /32 = J²ω²/2 ;
Eкв = Jω²/2 = m² vц² L² / [32J] = m² vц² L² / [ 32 Mo L² / 12 ] = 3m/[4Mo] m vц²/2 ;
Поскольку vц = v – V = v – v m/Mo = v ( 1 – m/Mo ) = v M/Mo ≈ v , то пренебрегая отличием vц от v мы поручим ошибку второго порядка малости, а при условии m lt;lt; M – такое пренебрежение полностью оправдано.
Eкв = 3m/[4Mo] Eкo , где Eкв – кинетическая энергия конечного совместного вращения доски с пулей.
Общая кинетическая энергия конечного совместного движения доски с пулей сложится из кинетической энергии совместного линейного движения и совместного вращения:
Eк = Eкл + Eкв = [m/Mo] Eкo + 3m/[4Mo] Eкo = 7m/[4Mo] Eкo ;
Учитывая, что Mo = M + m = M ( 1 + m/M ) ≈ M , поскольку m lt;lt; M , имеем:
Конечная кинетическая энергия: Eк ≈ 7m/[4M] mv²/2 ≈ 7m²v²/[8M] ;
Кинетическая энергия, перешедшая во внутреннюю: K ≈ (1–7m/[4M]) mv²/2 .
122
