Всё в картинке. Нужно для определения ускорения решить это уравнение лаба по закону стокса срочно прошу помогитеё

Question

Физика

Глеб

6 год назад

Всё в картинке. Нужно для определения ускорения решить это уравнение лаба по закону стокса срочно прошу помогитеё

ОТВЕТЫ

Lagovchin

Jul 14, 2019

Решим дифур

$m\frac{dv}{dt} = F_0 - F(v)\\amp;#10;m\frac{dv}{dt} = mg-F_A - (kv)\\amp;#10;m\frac{dv}{dt} -mg+F_A + kv = 0$

Где сила сопротивления пропорциональна скорости (kv). Сделаем замену

v = vf+u где vf = (mg- F_A)/k. Тогда dv/dt = du/dt и получаем

$m\frac{du}{dt} -mg+F_A+k((mg-F_A)/k+u) = 0\\amp;#10;m\frac{du}{dt} + ku = 0\\amp;#10;\frac{du}{dt} = -\frac{k}{m}u\\amp;#10;\frac{du}{u} = -\frac{k}{m}dt\\amp;#10;\ln(u/u_0) = -\frac{k}{m}t\\amp;#10;u = u_0\exp(-\frac{k}{m}t)\\amp;#10;v = \frac{1}{k}(mg-F_A)+u_0\exp(-\frac{k}{m}t)$

Найдем u0 из начального условия v(0) = v0.

$v(0) = \frac{1}{k}(mg-F_A)+u_0 = v_0\\amp;#10;u_0 = v_0 - \frac{1}{k}(mg-F_A)\\\\amp;#10;v(t) = \frac{1}{k}(mg-F_A)+(v_0 - \frac{1}{k}(mg-F_A))\exp(-\frac{k}{m}t) = \\amp;#10;=v_0\exp(-\frac{k}{m}t) + \frac{1}{k}(mg-F_A)[1-\exp(-\frac{k}{m}t)]$

Отсюда понятен физический смысл vf = (mg- F_A)/k: это установившаяся скорость.

Закон движения найдем интегрированием

$x(t) = \int (v_0\exp(-\frac{k}{m}t) + \frac{1}{k}(mg-F_A)[1-\exp(-\frac{k}{m}t)])dt=\\amp;#10;\frac{m}{k}[\frac{1}{k}(mg-F_A) - v_0]\exp(-\frac{k}{m}t)+\frac{1}{k}(mg-F_A)t+x_0$

46