∫sqrt(x^2-1)/xdx. Помогите решить интеграл и показать способ как его решать. Должно совпасть с ответом sqtr(x^2-1) - arccos(1/x)+C.

Question

Математика

Meonval

7 год назад

∫sqrt(x^2-1)/xdx. Помогите решить интеграл и показать способ как его решать. Должно совпасть с ответом sqtr(x^2-1) - arccos(1/x)+C.

ОТВЕТЫ

Кавелин

Jul 9, 2019

$\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} dx=[x=\frac{1}{cost},\; dx=\frac{sint}{cos^2t}\, dt,\; x^2-1=\frac{1}{cos^2t}-1=tg^2t]=\\\\=\int \frac{\sqrt{tg^2t}}{1/cost}\cdot \frac{sint}{cos^2t} dt=\int \frac{sint}{cost\cdot \frac{1}{cost}} \cdot \frac{sint}{cos^2t} dt=\int \frac{sin^2t}{cos^2t} dt=\\\\=\int \frac{1-cos^2t}{cos^2t} dt=\int (\frac{1}{cos^2t}-1)dt=tgt-t+C=\\\\=tg(arccos\frac{1}{x})-arccos\frac{1}{x}+C=$

$=[tg(arccosA)=\frac{\sqrt{1-A^2}}{A},\; A=\frac{1}{x},\;1-(\frac{1}{x})^2=\frac{x^2-1}{x^2}]=$

$=\frac{\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}}{\frac{1}{x}}-arccos\frac{1}{x}+C=x\cdot \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}-arccos \frac{1}{x}+C=\\\\=\sqrt{x^2-1}-arccos\frac{1}{x}+C\; ;$

40