Художнику удалось показать насколько прекрасен мир вокруг нас. Нужно ли после слова показать поставить, ?

Нет, после слова показать не надо ставить запятую)

Да, нужно, ведь это сложное предложение в котором 2 основы: 1: удалось показать (односост, есть только сказуемое), а 2: мир прекрасен (краткое прил является сказуемым)