Исследовать на сходимость знакоположительный ряд

Question

Математика

Агриппа

7 год назад

Исследовать на сходимость знакоположительный ряд

ОТВЕТЫ

Averkievich

Jul 6, 2019

Решаю задачу под номером а).

A) Ряд сходится по признаку Даламбера:

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4^{n-1}\cdot(n+1)\cdot n!}{(n+1)!\cdot4^{n-2}\cdot n}= \lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} =0\ \textless \ 1$

б) Ряд расходится по радикальному признаку Коши:

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}}= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ (\frac{5n+2}{5n-3} )^{n^2}}=\lim_{n \to \infty} (\frac{5n+2}{5n-3} )^{n}}= \\ \\ =\lim_{n \to \infty} ((1+\frac{5}{5n-3} )^{ \frac{5n-3}{5} }})^{ \frac{5n}{5n-3} }=e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{5n}{5n-3} }=e\ \textgreater \ 1$

в) Ряд сходится по признаку Даламбера

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\lim_{n \to \infty} \frac{3\cdot(n+1)\cdot e^{-2-(n+1)^2}}{3\cdot n\cdot e^{-2-n^2}} = \\ \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n}\cdot e^{-2n-1}=1\cdot 0=0\ \textless \ 1$

109