Помогите пожалуйста.
y"+2 y' = sin(t/2)
y(0) = -2; y'(0) = 4

Question

Математика

Kirizar

7 год назад

Помогите пожалуйста.
y"+2 y' = sin(t/2)
y(0) = -2; y'(0) = 4

ОТВЕТЫ

Эммануил

Jul 6, 2019

$y+2y=\\ y+2y=0 \\ k^2+2k=0 \\ k(k+2)=0 \\ k_1=0,k_2=-2$
Корни характеристического уравнения действительны и различны. Решение однородного ДУ: $y_o=C_1+C_2e^{-2t}$ .
Запишем частное решение в общем виде:
$y_{ch}=Asin \frac{t}{2} +Bcos\frac{t}{2}$ .
Найдем производные первого и второго порядка, поставим их в первоначальное равенство и найдем коэффициенты A,B.
$y_{ch}= \frac{A}{2} cos \frac{t}{2} - \frac{B}{2} sin\frac{t}{2} \\ y_{ch}=- \frac{A}{4} sin \frac{t}{2} - \frac{B}{4} cos\frac{t}{2} \\ - \frac{A}{4} sin \frac{t}{2} - \frac{B}{4} cos\frac{t}{2} +2(\frac{A}{2} cos \frac{t}{2} - \frac{B}{2} sin\frac{t}{2} )=sin \frac{t}{2} \\ - \frac{A}{4} sin \frac{t}{2} - \frac{B}{4} cos\frac{t}{2} +A cos \frac{t}{2} - B sin\frac{t}{2} =sin \frac{t}{2} \\ \\ sin \frac{t}{2} ( -\frac{A}{4} -B)+cos\frac{t}{2}(-\frac{B}{4} +A)=sin \frac{t}{2}$
$\left \{ { -\frac{A}{4} -B=1 \\ } \atop {-\frac{B}{4} +A=0}} \right. \\ A= -\frac{4}{17} , B= -\frac{16}{17} \\ amp;#10;y_{ch}=-\frac{4}{17}sin \frac{t}{2} -\frac{16}{17} cos\frac{t}{2}$
Запишем решение ДУ:
$y= C_1+C_2e^{-2t}-\frac{4}{17}sin \frac{t}{2} -\frac{16}{17} cos\frac{t}{2}$
Решим задачу Коши.
$y(0)=C_1+C_2- \frac{16}{17}=-2 \\ y=-2*C_2e^{-2t}- \frac{4}{17} cos\frac{t}{2} + \frac{16}{17} sin\frac{t}{2} \\ y(0)=-2*C_2- \frac{4}{17} =4 \\ C_2= \frac{-72}{17} \\ C_1= \frac{54}{17} \\ y=\frac{54}{17}-\frac{72}{17}e^{-2t}-\frac{4}{17}sin \frac{t}{2} -\frac{16}{17} cos\frac{t}{2}$

16

Помогите пожалуйста. y"+2 y' = sin(t/2) y(0) = -2; y'(0) = 4

Помогите пожалуйста.
y"+2 y' = sin(t/2)
y(0) = -2; y'(0) = 4