Сколько острых углов φ удовлетворяет соотношению
sin(φ)+sin(2φ)+sin(3φ)+…+sin(36φ) = 0 ?

Sina+sin 2a +sin3a+...+sin36a=0

sina    +sin2a+...+sin36a=S
sin36a+sin35a+...+sina  =S складываем!

2S=(sina+sin36a)*36;  S=18 *2sin( (a+36a)/2) *cos((36a-a)/2;
36sin(37a/2) *cos35a/2=0
sin(37a/2)=0            ili             cos(35a/2)=0
37a/2=πn                                      35a/2=π/2+πn; n-celoe
a=(2πn/37)                                   a=π/35+2πn/35
-π/2lt;2πn/37lt;π/2                              -π/2lt;alt;π/2
-37/4lt;nlt;37/4                                 -π/2lt;(2*(π/2+πn)/35)lt;π/2
-9(1/4)lt;nlt;9(1/4)                             -35π/2lt;2π(0,5+n)lt;35π
n=-9;-8;...8;9                                    -35/4lt;0,5+nlt;35/4             | +(-1/2)
всего 9+1+9=19                             -37/4lt;nlt;33/4; n-celoe                       
Ответ 18;19                                           n  от -9 до 8 здесь всего 18