Помогите решить кубическое уравнение x^3-15x^2+74x-90 = 0

Question

Алгебра

Raeblim

7 год назад

Помогите решить кубическое уравнение x^3-15x^2+74x-90 = 0

ОТВЕТЫ

Кирик

Jul 5, 2019

X^3 - 15x^2 + 74x - 90 = 0
Попробуем по методу Горнера
Возможные корни - делители свободного члена 90
x = +-1; +-2; +-3; +-5; +-6; +-9; +-10; +-15; +-18; +-30; +-45; +-90
x | x^3 | x^2 |_x^1 | x^0
------------------------------
x | _1_ |-15 | _74 | -90
------------------------------
1| _1_|-14 | _ 80 |-10 lt; 0
-1|_1_|-16| _ 90 | -180
2 |_1_|-13| _ 48 | 6 gt; 0
-2|_1_|-17|_108 |-306
3 |_1_|-12| _ 38 | 24 gt; 0
Ясно, что если брать числа больше 3, то результат будет gt; 0.
А если брать меньше -2, то результат будет lt; 0
У этого уравнения 1 иррациональный корень x ∈ (1; 2)
Точно его можно найти с помощью метода Кардано.
x^3 - 15x^2 + 74x - 90 = 0
a = -15; b = 74; c = -90
Замена x = y - a/3 = y + 5
Получаем
y^3 + py + q = 0, где
p = -a^2/3 + b = -225/3 + 74 = -1
q = 2*(a/3)^3 - a*b/3 + c = 2*(-5)^3 - (-15)*74/3 - 90 = 30
y^3 - y + 30 = 0
$Q=( \frac{q}{2} )^2+( \frac{p}{3} )^3=15^2+( \frac{-1}{3} )^3=225- \frac{1}{27}= \frac{225*27-1}{27}= \frac{6074}{27}$
$y= \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{Q} }+\sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{Q} } =$
$=\sqrt[3]{-15 - \sqrt{\frac{6074}{27}} }+\sqrt[3]{- 15 + \sqrt{\frac{6074}{27}}}=$
$=-\sqrt[3]{15+\sqrt{\frac{6074}{27}} }+\sqrt[3]{- 15 + \sqrt{\frac{6074}{27}}}$
$x=y+5=5-\sqrt[3]{15 + \sqrt{\frac{6074}{27}} }+\sqrt[3]{- 15 + \sqrt{\frac{6074}{27}}}=1,7855$

121