Sin(x)+sin^2(x)+sin^3(x)+...+sin^n(x)+... = 1
Чему равен наименьший полож корень?

Question

Математика

Глазенап

7 год назад

Sin(x)+sin^2(x)+sin^3(x)+...+sin^n(x)+... = 1
Чему равен наименьший полож корень?

ОТВЕТЫ

Meat

Jul 5, 2019

$sinx+sin^2x+sin^3x+...+sin^nx+...=1amp;#10;$

Заметим, что в левой части уравнения бесконечно убывающая прогрессия, сумма всех членов которой равна:
$S= \frac{b_1}{1-q} \\ \\ b_1=sinx \\ b_2=sin^2x \\ b_3=sin^3x$
$q= \frac{b_2}{b_1}= \frac{sin^2x}{sinx}=sinx$ , $sinx \neq 0$
$S=1 \\ \frac{sinx}{1-sinx}=1 \\ 1-sinx \neq 0 \\ sinx \neq 1$
$x \neq \frac{ \pi }{2} +2 \pi n,$ n∈Z
$sinx=1-sinx \\ 2sinx=1 \\ sinx= \frac{1}{2}$
$x=(-1)^karcsin \frac{1}{2} + \pi k$ , k∈Z
$x=(-1)^k \frac{ \pi }{6} + \pi k$ , k∈Z
$k=0,$ $x= \frac{ \pi }{6}+0= \frac{ \pi }{6}$ - наименьший пол. корень
$k=1,$ $x= \frac{ -\pi }{6}+ \pi = \frac{ 5\pi }{6}$

Ответ: $\frac{\pi }{6}$

268

Sin(x)+sin^2(x)+sin^3(x)+...+sin^n(x)+... = 1 Чему равен наименьший полож корень?

Sin(x)+sin^2(x)+sin^3(x)+...+sin^n(x)+... = 1
Чему равен наименьший полож корень?