(√(3-2√2) )^x + (√(3+2√2) )^x = 6

Question

Математика

Ренат

7 год назад

(√(3-2√2) )^x + (√(3+2√2) )^x = 6

ОТВЕТЫ

Базаров

Jul 5, 2019

$( \sqrt{3-2 \sqrt{2} } )^x+( \sqrt{3+2 \sqrt{2} } )^x=6$

Заметим:
$\sqrt{3+2 \sqrt{2} } = \frac{\sqrt{3+2 \sqrt{2} }*\sqrt{3-2 \sqrt{2} } }{\sqrt{3-2 \sqrt{2} } } = \frac{1}{ \sqrt{3-2 \sqrt{2} } }$
и
$\sqrt{3-2 \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{3+2 \sqrt{2} } }$

Введем замену:
$( \sqrt{3+2 \sqrt{2} } )^x=a,$ $a\ \textgreater \ 0$

Получим уравнение, равносильное исходному:
$\frac{1}{a}+a=6$
$\frac{1}{a} +a-6=0$ , т.к. $a\ \textgreater \ 0$
$a^2-6a+1=0 \\ D=36-4=32 \\ a_1= \frac{6+4 \sqrt{2} }{2}=3+2 \sqrt{2} \\ a_2= \frac{6-4 \sqrt{2} }{2}=3-2 \sqrt{2}$

$( \sqrt{3+2 \sqrt{2} } )^x=3+2 \sqrt{2}$ или    $( \sqrt{3+2 \sqrt{2} } )^x=3-2 \sqrt{2}$
$(3+2 \sqrt{2} )^ \frac{x}{2}= (3+2 \sqrt{2})^1$ или $(3+2 \sqrt{2} )^ \frac{x}{2}= \frac{1}{3+2 \sqrt{2}}$
$\frac{x}{2}=1$ или    $(3+2 \sqrt{2} )^ \frac{x}{2}=(3+2 \sqrt{2} )^{-1}$
$x=2$ или    $\frac{x}{2}=-1$
$x=-2$

Ответ: 2; -2

297