Укажите функцию которая удовлетворяет уравнению y"+xy`+y = xcosx

Question

Математика

Heyakzhek

7 год назад

Укажите функцию которая удовлетворяет уравнению y"+xy`+y = xcosx

ОТВЕТЫ

Мокий

Jul 5, 2019

Обратим внимание, что справа стоит xy а слева xcos(x). Чтобы избавиться от этих проблемных членов, представим

$y = u + \sin x$

Тогда

$(u - \sin x) + x(u+\cos x) + u + \sin x = x\cos x\\amp;#10;u + xu + u = 0\\amp;#10;$

Фактически, мы угадали частное решение. Теперь найдем общее решение однородного уравнения. На самом деле нет, не найдем, просто найдем частное, но нам же задача ставится только функцию подобрать. Сделаем замену p = x^2, тогда

$p = x^2\\amp;#10;dp = 2xdx\\amp;#10;u = du/dx = 2x(du/dp) = 2\sqrt{p}u`\\amp;#10;u = du/dx = 2\sqrt{p}(du/dp) = 2\sqrt{p}(p^{-1/2}u` + 2\sqrt{p}u``) = 2u`+4pu``\\\\amp;#10;$

Где обратный штрих означает производную по p. Подставим все и получим
$4pu``+2pu`+2u`+u = 0\\amp;#10;2u`+u + 2p(2u`+u)` = 0$

Частным решением последнего уравнения будет
$2u`+u = 0\\amp;#10;u = \exp(-p/2) = \exp(-x^2/2)\\\\amp;#10;y = u+\sin x = \exp(-x^2/2)+\sin x$

179