Помогите срочно, пожалуйста!!!

Question

Математика

Laizan

7 год назад

Помогите срочно, пожалуйста!!!

ОТВЕТЫ

Андриан

Jul 4, 2019

Я буду демонстрировать верность для базы и доказывать шаг, все утверждение будет верно по аксиоме математической индукции

6)
База: n=1, 4^2-1 = 15 делится на 5

Шаг: Пусть 4^2n-1 делится на 5, то есть 4^2n-1 = 5k
Тогда для n+1 имеем

$4^{2(n+1)}-1 = 16\cdot4^{2n}-1 = 16\cdot(5k+1)-1 = 80k+15$
Последнее очевидно делится на 5.

7)
База: n=1, n^3+11n = 1+11 = 12 делится на 6
Шаг: пусть n^3+11n делится на 6, то есть n^3+11n = 6k
Тогда для n+1
$(n+1)^3+11(n+1) = n^3+3n^2+3n+1+11n+11 = \\amp;#10;=6k+ 3n^2+3n=12 = 6k+12+3n(n+1)$

Первые два слагаемые очевидно делятся на 6, последнее тоже делится на 6, ибо делится на 3 и на 2 тоже, потому что хотя бы одно из n и n+1 четно.

8)
База: n=1, 4^n+15n = 4+15 = 19 делится на 9 с остатком 1
Шаг: пусть 4^n+15n делится на 9 с остатком 1, то есть 4^n+15n = 9k+1
Тогда для n+1

$4^{n+1}+15(n+1) = 4\cdot4^n+15n+15 = 4\cdot(9k+1-15n)+15n+15 =\\amp;#10;=36k-45n+19 = 9(4k-5n+2)+1$

Последнее выражение очевидно дает 1 в остатке при делении на 9

10)
База: n=2, 2^n=4gt;3
Шаг: пусть 2^ngt;n+1, тогда для n+1
$2^{n+1} = 2\cdot2^n\ \textgreater \ 2(n+1)\ \textgreater \ 2n+2\ \textgreater \ (n+1)+1$

11)
База n=5, 2^n = 32gt;25
Шаг: пусть 2^ngt;n^2, тогда для n+1
$2^{n+1}= 2\cdot2^n \ \textgreater \ 2n^2=n^2+n^2\ \textgreater \ n^2+2n+1=(n+1)^2$
В этой цепочке используется тот факт, что при ngt;=5, n^2gt;2n+1.Докажем это

$n^2\ \textgreater \ 2n+1\\amp;#10;n^2-2n-1\ \textgreater \ 0\\amp;#10;(n-1)^2\ \textgreater \ 2\\amp;#10;\left[amp;#10;\begin{aligned}amp;#10;amp;n\ \textgreater \ 1+\sqrt{2}\\amp;#10;amp;n\ \textless \ 1-\sqrt{2}amp;#10;\end{aligned}$

Так как 5gt;1+√2, мы заключаем, что сделали правильный переход

9)
База: n=1, 1+2+3+4+5 = 15 делится на 15
Шаг: пусть 1+2^(2n-1)+3^(2n-1)+4^(2n-1)+5^(2n-1) = 15k
тогда для n+1

$1+2^{2n+1}+3^{2n+1}+4^{2n+1}+5^{2n+1} = \\ =1+2^{2n-1}+3^{2n-1}+4^{2n-1}+5^{2n-1}+\\ +3\cdot2^{2n-1}+8\cdot3^{2n-1}+15\cdot4^{2n-1}+24\cdot5^{2n-1}=\\ 15k+120\cdot5^{2n-2}+15\cdot4^{2n-1}+3\cdot2^{2n-1}+8\cdot3^{2n-1}$

Первые 3 слагаемых очевидно делятся на 15 без остатка, разберемся с 2 остальными

$3\cdot2^{2n-1}+(5+3)\cdot3^{2n-1} =15\cdot3^{2n-2}+3\cdot2^{2n-1}+3^{2n} =\\amp;#10;=15\cdot3^{2n-2}+3\cdot(2^{2n-1}+3^{2n-1})$

первое делится на 15, второе делится на 3, осталось доказать что выражение в скобках кратно 5, сделаем по индукции

База: n=1, 2+3 = 5 делится на 5
Шаг: пусть 2^(2n-1)+3^(2n-1) = 5m, тогда для n+1

$2^{2n+1}+3^{2n+1} = 2^{2n-1}+3^{2n-1}+3\cdot2^{2n-1}+8\cdot3^{2n-1} = \\amp;#10;=5m+3\cdot(2^{2n-1}+\cdot3^{2n-1})+5\cdot3^{2n-1} = 20m+15\cdot3^{2n-2}$

Последнее делится на 5, что по обратной цепочке доказывает верность шага главной индукции

12)
База: n=1, 1gt;2√2-2, что легко проверить,так как 2√2-2 это где-то 0.82
Шаг: пусть
$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...\frac{1}{\sqrt{n}}\ \textgreater \ 2(\sqrt{n+1}-1)$
Тогда для n+1
$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ \textgreater \ 2(\sqrt{n+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ \textgreater \ 2(\sqrt{n+2}-1)amp;#10;amp;#10;$
Убедимся в справедливости последнего неравенства
$2(\sqrt{n+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ \textgreater \ 2(\sqrt{n+2}-1)\\amp;#10;2\sqrt{n+1}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ \textgreater \ 2\sqrt{n+2}\\amp;#10;2(n+1)+1\ \textgreater \ 2\sqrt{n^2+3n+2}\\ 4n^2+12n+9\ \textgreater \ 4n^2+12n+8\\amp;#10;1\ \textgreater \ 0$
Последнее неравенство верно для любого натурального, а значит, верен и шаг индукции

45