Вычислить предел при x->1 (3^(5x-3)-3^(2x^2))/(ln(5x^(2)-4x) не пользуясь правилом Лопиталя.

Question

Математика

Forgas

7 год назад

Вычислить предел при x->1 (3^(5x-3)-3^(2x^2))/(ln(5x^(2)-4x) не пользуясь правилом Лопиталя.

ОТВЕТЫ

Потап

Jul 4, 2019

Чтобы корректно отображались формулы зайти следует через браузер, а не через приложение!
Для начала используем известное следствие из вт-ого зам-ого предела $\lim_{a \to 0} \frac{ln(1+a)}{a} =1$ :
$\lim_{x \to 1} \frac{3^{5x-3}-3^{2x^2}}{ln(5x^2-4x)} = \lim_{x \to 1} \frac{(3^{5x-3}-3^{2x^2})(5x^2-4x-1)}{ln(1+(5x^2-4x-1))(5x^2-4x-1)} =...$
5x²-4x-1 -gt;0 при x-gt;1, поэтому дробь (5x²-4x-1)/ln(1+(5x^2-4x-1))-gt;1. Значит
$...= \lim_{x \to 1} \frac{3 ^{5x-3}-3^{2x^2}}{5x^2-4x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{3 ^{5x-3}(1-3^{2x^2-5x+3})}{5x^2-4x-1} = \\ =-9\lim_{x \to 1} \frac{3^{2x^2-5x+3}-1}{5x^2-4x-1}=...$
Тут пригодится еще одно (их аж 6) следствие из второго замечательного предела: $\lim_{a \to 0} \frac{k^a-1}{alnk} =1$
$...=-9\lim_{x \to 1} \frac{(3^{2x^2-5x+3}-1)(2x^2-5x+3)ln3}{(5x^2-4x-1)(2x^2-5x+3)ln3}=-9ln3 \lim_{x \to 1} \frac{2x^2-5x+3}{5x^2-4x-1} = \\ =-9ln3 \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(2x-3)}{(x-1)(5x+1)} = \\ =-9ln3 \lim_{x \to 1} \frac{2x-3}{5x+1} = \frac{3ln3}{2} =ln \sqrt{27}$

190