К произведению трёх последовательных натуральных чисел прибавили натуральное число n, больше 1, и получили простое число. Какое наименьшее n может удовлетворять к этому условию ?

Среди трех последовательных натуральных чисел хотя бы одно делится на 2 и хотя бы одно делится на 3.

Значит, если к произведению прибавить любое число делящееся на 2 или на 3, мы никак не сможем получить простое (сумма тоже будет делиться на 2 или на 3)

Значит наименьший кандидат для n - это число 5.
И действительно, такой пример есть

2*3*4+5 = 29 - простое.