Дифференциальное уравнение:xy'' = y'ln(y'/x)

Question

Алгебра

Vaanas

7 год назад

Дифференциальное уравнение:xy'' = y'ln(y'/x)

ОТВЕТЫ

Kain

Jul 4, 2019

$xy=y\cdot ln\frac{y}{x}\\\\y=p(x)\; ,\; \; y=p(x)\\\\x\cdot p=p\cdot ln\frac{p}{x}\\\\p=\frac{p}{x}\cdot ln\frac{p}{x}\\\\u=\frac{p}{x}\; ,\; \; p=ux\; ,\; \; p=ux+u\\\\ux+u=u\cdot lnu\\\\ux=u\cdot lnu-u \\\\\frac{du}{dx}\cdot x=u\cdot (lnu-1)\\\\\int \frac{du}{u\cdot (lnu-1)}=\int \frac{dx}{x}\\\\\int \frac{d(lnu-1)}{lnu-1}=\int \frac{dx}{x}\; ,\; \; \; [\; \int \frac{dt}{t}=ln|t|+C\; ,\; t=lnu-1\; ]\\\\ln|lnu-1|=ln|x|+lnC_1\\\\lnu-1=C_1x\\\\lnu=C_1x+1$

$u=e^{C_1x+1}\; \; \to \; \; \; \frac{p}{x}=\frac{y}{x}=e^{C_1x+1}$

$y=x\cdot e^{C_1x+1}\\\\\int dy=\int x\cdot e^{C_1x+1}\, dx\\\\\star \; \; u=x\;, \; du=dx\; ,\; dv=e^{C_1x+1}\, dx\; ,\; v=\frac{1}{C_1}\cdot e^{C_1x+1}\; ,\\\\\int u\cdot dv=uv-\int v\cdot du\; \; \star$

$\int dy=\frac{x}{C_1}\cdot e^{C_1x+1}-\frac{1}{C_1}\cdot \int e^{C_1x+1}\, dx\\\\y=\frac{x}{C_1}\cdot e^{C_1x+1}-\frac{1}{C_1^2}\cdot e^{C_1x+1}+C_2$

108