В тругольнике АВС угол А = 45 градусов, ВС = 13, а высота ВД отсекает на стороне АС отрезок ДС, равный 12 см. Найти площадь треугольника АВС и высоту , проведенную к стороне ВС.

АВС разделен высотой ВД на 2 прямоуг треуг. Один - равнобедренный. Другой со сторонами из пифагоровой тройки 13, 12, 5. Дальше все просто.
Только для нахождения высоты используем метод площадей.

Что бы найти площадь, надо знать формулу Герона: 
S= корень ((p-a)*(p-b)*(p-c)) где р-полупериметр, а,б, с - стороны