Относится ли I have got к Present Simple

Нет, это время Present Perfect. 

В Present Simple вспомогательные глаголы DO и DOES, которые ставятся только в случае построения вопроса или отрицательного предложения.

Present Simple 
Для обыч действ. - I eat.
Для текущих действий -I am eating/
Для свежих действий, состояний - I have eaten.
Для результативно протекающ. действия - I have been eaten.
Ответ - НЕТ.