Шар с отверстием, прикрепленный к пружине, второй конец которой прикреплён к стене, колеблется на горизонтальном стержне. Через некоторое небольшое время $t_1$ от положения, где его скорость равна нулю – он проходит некоторое небольшое расстояние $L<<A ,$ где $A$ – амплитуда. Затем за небольшое время $t_2$ – он проходит такое же расстояние $L .$ Во сколько раз первый интервал времени больше второго?

Question

Физика

Gyuzhille

6 год назад

Шар с отверстием, прикрепленный к пружине, второй конец которой прикреплён к стене, колеблется на горизонтальном стержне. Через некоторое небольшое время $t_1$ от положения, где его скорость равна нулю – он проходит некоторое небольшое расстояние $L<<A ,$ где $A$ – амплитуда. Затем за небольшое время $t_2$ – он проходит такое же расстояние $L .$ Во сколько раз первый интервал времени больше второго?

ОТВЕТЫ

Sayuded

Jul 2, 2019

Скорость шара равна нулю, либо при максимальном сжатии пружины, либо при максимальном растяжении пружины. От этого положения, как от начального, уравнение движения можно записать так:

$x = A \cos{ \omega t } \ ,$

имея в виду, что в локальной окрестности сжатия $x$ – это степень сжатия, а в локальной окрестности растяжения $x$ – это степень растяжения.

Тогда искомая точка: $x = A - L \ ;$

$A - L = A \cos{ \omega t } \ ,$

$1 - \frac{L}{A} = \cos{ \omega t_1 } \ ,$

$1 - \frac{L}{A} \approx 1 - \frac{ (\omega t_1)^2 }{2} \ ,$

$\frac{L}{A} \approx \frac{ (\omega t_1)^2 }{2} \ ,$

Аналогично:

$\frac{2L}{A} \approx \frac{ ( \omega^2 (t_1+t_2)^2 }{2} \ ,$

Разделим друг на друга два последних уравнения:

$2 \approx ( \frac{t_1+t_2}{t_1} )^2 \ ,$

$2 \approx ( 1 + \frac{t_2}{t_1} )^2 \ ,$

$\frac{t_2}{t_1} \approx \sqrt{2} - 1 \ ,$

$\frac{t_1}{t_2} \approx \frac{1}{ \sqrt{2} - 1 } = \frac{ \sqrt{2} + 1 }{ ( \sqrt{2} - 1 ) ( \sqrt{2} + 1 ) } = \sqrt{2} + 1 \ ,$

$t_1 \approx ( \sqrt{2} + 1 ) t_2 \ ,$

ОТВЕТ: При $Llt;lt;A , \ \ \ \ t_1$ больше чем $t_2$ в $( \sqrt{2} + 1 ) \approx 2.414$ раза.

*** при больших значениях $L$ эта закономерность перестаёт выполняться, а при $L = \frac{A}{2}$ соотношение достигает предельного случая, в котором $\frac{t_1}{t_2} = 2 \ .$

165