В окружность вписан равносторонний треугольник ABC. На дуге AC взята произвольная точка M. Длины отрезков MA и MB соответственно равны 2 и 10. Найдите длину MC.

Ну тут весь "прикол" в том, что ∠AMB = ∠BMC = 60°; и само собой ∠AMC = 120°;
Если для краткости обозначить AB = BC = AC = a; AM = x = 2; MB = y = 10; MC = z;  то теорема косинусов сразу дает
x^2 + y^2 - xy = a^2;
z^2 + y^2 - zy = a^2;
z^2 + x^2 + xz = a^2;
Пригождается второе и третье соотношения, из них получается
y^2 - zy = x^2 + xz; или y^2 - x^2 = z(x + y);
y - x = z;
Это и есть ответ, z = 10 - 2 = 8;

Теорема косинусов для треугольника AМC
AC^2=AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC

Теорема косинусов для треугольника BМC
BC^2=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

AC=BC (треугольник равносторонний) Тогда AC^2=BC^2

AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC
AM^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2-2*BM*CM*cosBMC

АМ и ВM знаем
2^2-2*2*CM*cosAMC=10^2-2*10*CM*cosBMC
4-4*CM*cosAMC=100-20*CM*cosBMC

Углы ВМС и ВАС равны, опираются на одну дугу. ВАС=60 - равносторонний треугольник.
Угол АМС=АМВ+ВМС=АСВ+ВАС=60+60=120

4-4*CM*cos120=100-20*CM*cos60
4-4*CM*(-1/2)=100-20*CM*1/2
4+2*CM=100-10*CM
12*CM=96
СМ=8