Помогите с математикой! Срочно!
Исследуйте функцию и постройте график: у = 1/2 х^4 - х^3

Исследовать функцию -- значит определить её область определния, множество значений; чётность/нечётность; нули, области знакопостоянства, критические точки, области возрастания и убывания, выпуклости и вогнутости, возможные асимптоты, оси и центры симметрии и построить график.

Обозначим f(x)=(8x^3+1)/x = 8x^2 + 1/x

1. Область определения: x не равно 0

2. Область значений: y -- любое (см. п. 11).

3. Функция не является ни чётной, ни нечётной (первое слагаемое в сумме 8x^2 + 1/x чётное, второе -- нечётное) .

4. Точки пересечения с осями координат, в т. ч. нули.
x=0 =gt; f(x) не определена
f(x)=0 =gt; x=-1/2

5. Области знакопостоянства
Функция может менять знак при переходе через нули или критические точки
Нуль (простой): x=-1/2; критическая точка x=0
Двигаемся справа налево по числовой оси:
при xgt;0 ygt;0
при -1/2lt;xlt;0gt;0

6. Критические точки, точки экстремума, области возрастания и убывания.
f(x) -- гладкая функция на всей числовой оси, за исключением критической точки x=0

f(x) = 16x-1/x^2 = (16x^3-1)/x^2
f(x)=0 =gt; x=1/(2^(4/3))
Двигаемся по оси х справа налево:
xgt;1/(2^(4/3)) =gt; f(x)gt;0 =gt; f(x) строго монотонно возрастает
0lt;xlt;1/(2^(4/3))gt; f(x)lt;0 =gt; f(x) строго монотонно убывает
xlt;0 =gt; f(x)lt;0 =gt; f(x) строго монотонно убывает
(при переходе через 0 знак f(x) не изменяется) .

При переходе через x=1/(2^(4/3)) f(x) меняет знак с "-" на "+" =gt; имеем локальный минимум y=3*2^(1/3)

7. Области выпуклости и вогнутости; точки перегиба.

f(x) = 16 + 2/x^3 = 2 (8x^3+1)/x^3
f(x)=0 =gt; x=-1/2
f(x)=2f(x)/x^2) =gt; области знакопостоянства f(x) и f(x) совпадаютж см. п. 5
при xgt;0 f(x)gt;0 =gt; f(x) выпукла вниз
при -1/2lt;xlt;0gt; f(x) выпукла вверх
при xlt;-1/2 f(x)gt;0 =gt; f(x) выпукла вниз

x=-1/2 -- точка перегиба; y=0

8. Возможные асимптоты.
Вертикальная: ось y (x=0). При x, стремящемся к 0 сверху/снизу, f(x) стремится соответственно к плюс/минус бесконечности.
Горизонтальных нет, т. к. при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, не существует конечного предела f(x).
Наклонных нет, т. к. при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, не существует конечного предела f(x)/x

При x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, график f(x) приближается к параболе y=8x^2 соответственно сверху/снизу

9. Симметричность графика.
Осей и центров симметрии нет.

10. Собственно график (см. рис) .

11. количество решений уравнения f(x)=y в зависимости от y.
Из графика видно, что решения существуют при дюбом y
ygt;3*2^(1/3) =gt; три решения (x1lt;-1/2^(1/3)); 0lt;x2lt;1/(2^(4/3));gt;1/(2^(4/3))
y=3*2^(1/3) =gt; два решения (x1=-1/2^(1/3)); x2=1/(2^(4/3)) -- двойной корень (для получения x1 нужно решить прстое уравнение)
ylt;3*2^(1/3) =gt; одно решение -1/2^(1/3))lt;xlt;0gt;