Нужна помощь в решении показательного уравнения

Question

Алгебра

Tedysazip

6 год назад

Нужна помощь в решении показательного уравнения

ОТВЕТЫ

Kishendah

Jul 1, 2019

1 способ решения: (свойство монотонности функций)
ОДЗ:
2+х≥0 ⇒ х≥-2

$x^2+4x+2^{\sqrt{2+x}}+3=0 \\ x^2+4x+4-1+2^{\sqrt{2+x}}=0\\ (x+2)^2-1=-2^{\sqrt{2+x}}$

Графиком функции:
$y=(x+2)^2-1$
является парабола с вершиной в точке (-2;-1). Учитывая ОДЗ: x≥-2
Функция монотонно возрастает на промежутке [-2;+∞)

$y=-2^{\sqrt{2+x}}$
является монотонно убывающей функцией.

Если возрастающая функция равна убывающий, то уравнение имеет только один корень (если он есть)
Для таких задач корень находится подбором.
Если в исходном уравнении сумма чисел равна нулю, то корень (если он существует) будет отрицательный.
Нетрудно догадаться, что x=-2 (нужно было подобрать такой x, чтобы корень в показателе степени извлекся)

Ответ: -2

2 способ: (метод ограниченности функций)

$x^2+4x+2^{\sqrt{2+x}}+3=0 \\ x^2+4x+4-1+2^{\sqrt{2+x}}=0\\ (x+2)^2-1=-2^{\sqrt{2+x}}$

так как левой частью уравнения является парабола с вершиной (-2;-1) и ветви параболы направленны вверх, то область ее значения
E(y)=[-1;+∞)

Найдем область значения правой части:

$\sqrt{2+x} \geq 0 \\ \\ 2^{ \sqrt{2+x}} \geq 2^0 \\ \\ 2^{ \sqrt{2+x}} \geq 1 \ |*(-1) \\ \\ -2^{ \sqrt{2+x}} \leq -1$

получилось так, что левая часть уравнения ≥-1, а правая≤-1
Если обе эти части равны, значит они одновременно равны -1 (в любом другом случае корней нет)

$\left \{ {{(x+2)^2-1=-1} \atop { -2^{\sqrt{2+x}}=-1}} \right. \\ \\ \left \{ {{(x+2)^2=0} \atop { 2^{\sqrt{2+x}}=1}} \right. \\ \\ \left \{ {{x+2=0} \atop { 2^{\sqrt{2+x}}=2^0}} \right. \\ \\ \left \{ {{x=-2} \atop { \sqrt{2+x}=0}} \right. \\ \\ \left \{ {{x=-2} \atop {x=-2}} \right. \ \ =\ \textgreater \ x=-2 \\ \\ OTBET: \ -2$

Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, можно сразу указать область определения:

2+x≥0, или x≥-2.

Заметим, что -2 является корнем уравнения (4-8+1+3 = 0).

Далее рассмотрим левую часть уравнения и представим её в виде суммы двух слагаемых: x^2 + 4x+3 и 2^(sqrt(2+x)).

Первая часть — квадратный трёхчлен. Так как коэффициент при x^2 положителен, можно найти х, при котором принимается минимальное значение (на графике это будет абсцисса вершины параболы). Формула: х_вершины = -b/(2a), то есть x_вершины = - 4 / (2*1) = -2! Получается, что в точке -2 будет приниматься наименьшее значение (-1), на всём остальном луче (-2; +∞) значение трёхчлена будет возрастать.

Вторая часть — показательная функция, являющаяся возрастающей (так как 2gt;1). При х = -2 она принимает значение 1 (2^0), а на остальном луче её значение будет возрастать.

Так как значение первого слагаемого на луче (-2; +∞) будет больше -1, а второго — больше 1, то их сумма всегда будет больше нуля.

Таким образом, данное уравнение имеет лишь одно решение: х = -2.

59