Решить и проверить дефференцированием, спасибо $\int\limits \frac{x+3}{ x^{2} -x-6} dx \\ \int\limits {arctg \sqrt{2x-1dx} }$

Question

Алгебра

Лазарь

6 год назад

Решить и проверить дефференцированием, спасибо $\int\limits \frac{x+3}{ x^{2} -x-6} dx \\ \int\limits {arctg \sqrt{2x-1dx} }$

ОТВЕТЫ

Коробов

Jul 1, 2019

$1)\quad \int \frac{x+3}{x^2-x-6} dx=\int \frac{x+3}{(x-3)(x+2)} dx=A\\\\ \frac{x+3}{(x-3)(x+2)}=\frac{6/5}{x-3}-\frac{1/5}{x+2} \\\\A= \frac{ 6}{5} \int \frac{dx}{x-3}-\frac{1}{5}\int \frac{dx}{x+2}= \frac{6}{5} \cdot ln|x-3|-\frac{1}{5}\cdot ln|x+2|+C\\\\(\frac{6}{5}\cdot ln(x-3)-\frac{1} 5}\cdot ln(x+2)+C)={ \frac{6}{5}\cdot \frac{1}{x-3}- \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{x+2}=$

Проверка:

$= \frac{6(x+2)-(x-3)}{5(x-3)(x+2)}=\frac{6x+12-x+3}{5(x^2+2x-3x-6)} = \frac{5(x+3)}{5(x^2-x-6)}=\frac{x+3}{x^2-x-6}$

$2)\quad \int arctg\sqrt{2x-1}dx=[\; t^2=2x-1\; ,\; 2t\, dt=2\, dx\; \to \; dx=t\, dt\; ]=\\\\=\int t\cdot arctgt\cdot dt=[\; u=arctgt,\; du=\frac{dt}{1+t^2},\; dv=t\, dt,\; v=\frac{t^2}{2}\; ]=\\\\=\frac{t^2}{2}\cdot arctgt-\int \frac{t}{t^2+1}dt = \frac{t^2}{2}\cdot arctgt-\frac{1}{2}\cdot \int \frac{d(t^2+1)}{t^2+1})dt=\\\\=\frac{t^2}{2}\cdot arctgt-\frac{1}{2}\cdot ln|t^2+1|+C=\frac{2x-1}{2}\cdot arctg\sqrt{2x-1}-\frac{1}{2}\cdot ln(2x)+C=$

218