A) Известно, что sina + cosa = p
Найдите; 1) sina*cosa
2) sin²a + cos²a
3) sin³a + cos³a
4) sin⁴a + cos⁴a

б)Зная, что tgφ = $\frac{ \sqrt{ a^{2} + b^{2} } }{a+b}$ и φ ∈ [0; π/2]

в) Докажите тождество
1) $\frac{tgx+tgy}{ctgx + ctgy} = tgxtgy$
2) ctg²a - cos²a = ctg²acos²a

Question

Алгебра

Thogrinn

5 год назад

A) Известно, что sina + cosa = p
Найдите; 1) sina*cosa
2) sin²a + cos²a
3) sin³a + cos³a
4) sin⁴a + cos⁴a

б)Зная, что tgφ = $\frac{ \sqrt{ a^{2} + b^{2} } }{a+b}$ и φ ∈ [0; π/2]

в) Докажите тождество
1) $\frac{tgx+tgy}{ctgx + ctgy} = tgxtgy$
2) ctg²a - cos²a = ctg²acos²a

ОТВЕТЫ

Tasanak

Jun 30, 2019

$A)\quad sina+cosa=p\\\\1.\quad (sina+cosa)^2=\underbrace {sin^2a+cos^2a}_{1}+2sina\cdot cosa=\\\\=1+2sina\cdot cosa\; \; \Rightarrow \; \; \; p^2=1+2sina\cdot cosa\\\\\boxed{sina\cdot cosa=\frac{p^2-1}{2}}$

$2.\; \; \; \boxed{sin^2a+cos^2a=1}$

$3.\; \; \; (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$

$(sina+cosa)^3=sin^3a+cos^3a+3sina\cdot cosa(sina+cosa)\; \Rightarrow \\\\p^3=sin^3a+cos^3a+3\cdot \frac{p^2-1}{2}\cdot p\; \; \Rightarrow \\\\sin^3a+cos^3a=p^3-\frac{3}{2}\cdot p\cdot (p^2-1)=p^3-\frac{3}{2}p^3+\frac{3}{2}p}=-\frac{1}{2}p^3+\frac{3}{2}p\\\\\boxed {sin^3a+cos^3a=\frac{3}{2}p-\frac{1}{2}p^3=\frac{1}{2}p\cdot (3-p^2)}$

$4.\; \; \; (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4=\\\\=a^4+b^4+4ab(a^2+b^2)+6(ab)^2\\\\\\(sina+cosa)^4=\\\\=sin^4a+cos^4a+4sina\cdot cosa\cdot (\underbrace {sin^2a+cos^2a}_{1})+6(sina\cdot cosa)^2\\\\p^4=sin^4a+cos^4a+4\cdot \frac{p^2-1}{2}+6\cdot \left (\frac{p^2-1}{2}\right )^2\\\\\boxed {sin^4a+cos^4a=p^4-2(p^2-1)-\frac{3}{2}\cdot \left (p^2-1\right )^2}$

$B)\quad 1.\; \; \; \frac{tgx+tgy}{ctgx+ctgy} =\frac{\frac{sinx}{cosx}+\frac{siny}{cosy}}{\frac{cosx}{sinx}+\frac{cosy}{siny}}=\\\\=\frac{(sinx\cdot cosy+siny\cdot cosx)\cdot sinx\cdot siny}{(siny\cdot cosx+sinx\cdot cosy)\cdot cosx\cdot cosy} = \frac{sinx}{cosx} \cdot \frac{siny}{cosy} =tgx\cdot tgy$

$2.\; \; \; ctg^2a-cos^2a= \frac{cos^2a}{sin^2a} -cos^2a= \frac{cos^2a-cos^2a\cdot sin^2a}{sin^2a} =\\\\=\frac{cos^2a(1-sin^2a)}{sin^2a}= \frac{cos^2a\cdot cos^2a}{sin^2a} = \frac{cos^2a}{sin^2a} \cdot cos^2a=ctg^2a\cdot cos^2a$

А)   sinα +cosα = p ;
===============
ОГРАНИЧЕНИЕ НА  p:   p  = sinα +cosα =√2sin(α+45°)
⇒ |p| ≤ √2 иначе - √2  ≤ p ≤ √2 ( или p ∈ [ -√2 ; √2]   )
в противном случае  , продолжать бессмысленно
===
1)
sin²α +cos²α =1 _тождество.
2)
(sinα+cosα)² =sin²α +cos²α +2sinα*cosα =1+2sinα*cosα⇔p² = 1 +2sinα*cosα
⇒ sinα*cosα = (p² -1) /2.
3)
sin³α +cos³α = (sinα+cosα) (sin²α -sinα*cosα + cos²α) =p*( 1- (p² -1) /2 )
= p( -p² +3)/2.   * * * p(3 -p²) /3 * * *
4)
просто:   sin⁴α +cos⁴α=(sinα +cosα)( sin³α +cos³α) - sinα*cosα (sin²α +cos²α) = p²( - p² +3)/2 - (p² -1) /2 = (-p⁴+2p² +1)/2 .
* * * (sinα +cosα)( sin³α +cos³α) =sin⁴α +cos⁴α +sinα*cosα (sin²α +cos²α) * * *
Можно использовать формулу  (a+b)⁴ =a⁴ +4a³b +6a²b² +4ab³ +b⁴
⇒a⁴ +b⁴= (a+b)⁴-4ab(a²+b²)-6(ab)² .
sin⁴α +cos⁴α =(sinα +cosα)⁴ -  4sinα *cosα ( sin²α +cos²α) - 6(sinα *cosα )² .
sin⁴α +cos⁴α = (sinα +cosα)⁴ -  4sinα *cosα - 6(sinα *cosα )²
=p⁴ - 2(p² -1) - 3(p ² -1)² /2 = (-p⁴+2p² +1)/2 .
====================================
Б) Зная, что tgφ= (a²+b²) /(a+b)  и φ ∈ [0; π/2]
)))) хорошо ,что нет продолжение .....
====================================
В)
Докажите тождество
1) (tqx +tqy)/(ctqx +ctqy) =tqx*tqy
* * * (a+b) /(1/a+1/b) =(a+b) /( (a+b) /ab ) = ab * * *
(tqx +tqy)/(ctqx +ctqy) = (tqx +tqy)/( 1/tqx + 1/tqy) = (tqx +tqy)/( 1/tqx + 1/tqy)=
(tqx +tqy) /( (tqx + tqy ) / tqx *tqy ) =  tqx *tqy .
2) ctg²a - cos²a = ctg²acos²a
---
ctg²a - cos²a =ctg²a - ctq²α*sin²α=ctg²a(1 - sin²α) = ctg²a*cos²α .

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Основные тригонометрические тождества:
sin²x + cos²x = 1 ; tgx  =  sinx / cosx ; ctgx  =  cosx / sinx ; tgx * ctgx = 1 ;
tg²x + 1  =  1 / cos²x ; ctg²x + 1  =  1/sin²x.

23

A) Известно, что sina + cosa = p Найдите; 1) sina*cosa 2) sin²a + cos²a 3) sin³a + cos³a 4) sin⁴a + cos⁴a б)Зная, что tgφ = и φ ∈ [0; π/2] в) Докажите тождество 1) 2) ctg²a - cos²a = ctg²acos²a