Найти объём области, ограниченной z = 2-x^2-y^2, x^2+y^2 = 1, z>0
(область, находящаяся внутри цилиндра и ограниченная параболоидом и плоскостью z = 0)

Первое уравнение задает "перевернутый "эллиптический параболоид, поднятый на 2 единицы вверх. Второе уравнение задает эллиптический цилиндр. Поскольку рисовать картинку мне лень, опишу ее подробнее словами. Ставите на плоскость XOY стакан радиусом 1 и высотой 1 так, чтобы центр основания оказался в начале координат. После этого заполняете стакан мороженым "с горкой" так, чтобы вершина горки была на высоте 1
от верхнего края стакана и соответственно на высоте 2 от дна стакана.

Вводим цилиндрическую систему координат x=r cos Ф; y=r sin Ф; z=z, вспоминаем, что модуль Якобиана перехода в этом случае равен r.
V=∫_0^(2π) dФ ∫_0^1 rdr ∫_0^(2-r^2) dz=2π∫_0^1r(2-r^2)dr=2π(r^2-r^4/4)|_0^1=
2π(1-1/4)=3π/2.