А)Почленно сложить:
1.7+6 = 7.7
0.5-1.7 = -1.2
б)Почленно умножить:
3.8-5 = -1.2
3 = 0.6+2.4

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА  I

§ 12 Почленное умножение неравенств

Теорема. Неравенства одинакового смысла с положительными частями можно почленно умножать.

Доказательство. Пусть а gt; b и с gt; d, причем числа а, b, с и d положительны. Докажем, что aс gt; bd.

Умножив неравенство а gt; b почленно на положительное число с, получим ас gt; bc. Умножив затем неравенство с gt; d почленно на положительное число b, получим bc gt; bd. Теперь имеем: ас gt; bc, a bc gt; bd. Но тогда по второму основному свойству неравенств (§ 10) должно быть ас gt; bd.

Аналогично может быть рассмотрен случай, когда a lt; b и c lt; d.

Примеры:

Следствие 1. Если а gt; b, причем числа а и b положительны, то для любого натурального п

аn  gt;  bn.

Действительно, умножая почленно неравенство а gt; b само на себя,  получим а2 gt; b2. Умножая затем почленно полученное неравенство на исходное неравенство а gt; b, получим а3 gt; b3 и т. д.

Следствие 2. Если числа  а   и   b  положительны  и

аn  gt;  bn                (1)

(п — натуральное число), то а gt; b.

Действительно, возможен один из трех случаев: а = b, a lt; b и а gt; b. 
Если    а = b,    то    аn  =  bn. 
При а lt; b мы имели бы b gt; а, и потому по следствию 1  bn gt; аn . И то и другое противоречит неравенству (1).      
Остается признать, что а gt; b.

Пример.   Определить, какое число больше: √5  + √6  или  √3  + √8 .

Возвысим оба числа в квадрат:

(√5  + √6 )2 = 5 + 2√30  + 6 = 11 + 2√30  ; 
(√3  + √8 )2 = 3 + 2√24  + 8 = 11 + 2√24

Квадрат первого числа больше квадрата второго числа. Так как эти числа положительны, то по следствию 2

√5  + √6  gt; √3  + √8 :

Упражнения

93.  Любые  ли  два   неравенства   одинакового  смысла   можно почленно умножить (Рассмотрите пример:    3 gt; — 10   и    — 2 gt; — 7.)

94.   а) Всегда ли из а gt; b вытекает, что аn  gt;  bn  Ответ   пояснить  примерами.

б) Следует ли из аn  lt;  bn, что а lt; b Ответ пояснить примерами.

В задачах № 95—102 сравнить данные числа, то есть выяснить, какое из них больше и какое меньше:

95. √2  + √3  и  √7 .                                99*. 3√2 + 3√4  и 3√26

96. √5  + √3   и  √6  + √2                    100. (1 + √5)100 и 3100.

97. √11 — √10  и √6  — √5 .              101. (√7 +√2)9 и 49.

98. √8  — √15  и  1/2(√30 — √2 )        102. (√5 —√3)51 и  (√6 —√2)51

ОТВЕТЫ ТОЛЬКО ТАК