Найдите координаты точки О1 , равноудаленную от точек А(7;-1), В(-2;2) и С(-1;-5).​

Пусть точка имеет координаты . Указаны также точки , и . Требуется же найти координаты точки , притом таким образом, чтобы она была равноудалена от точек , и .

Расстояние от точки до точки будет иметь такой вид: .

Расстояние от точки до точки будет иметь такой вид: .

Расстояние от точки до точки будет иметь такой вид:

.

С этого момента допустимо оперировать квадратами расстояний вместо самих расстояний, так как от возведения обеих частей уравнений, которые мы получим позже, в квадрат получится полностью равносильное уравнение (ибо расстояние, очевидно, не может быть отрицательным).

Упростим все три выражения:

Условие же равноудалённости требует, чтобы эти три выражения были равны. Получается, что нужно решить такое уравнение:

.

Уже здесь можно видеть, что к каждой части уравнения прибавлено выражение . Можно вычесть его из каждой части:

.

Применяя аксиому транзитивности отношения равенства (), составим систему уравнений для нахождения и :

Упростим её:

Поделим первое уравнение на , а второе на :

Решим систему методом сложения:

Отсюда находим :

Обе координаты искомой точки найдены. ом станет задаваемая ими точка: