Решить уравнение методом Коши. Даю 50 поинтов

Question

Математика

Фотин

5 год назад

Решить уравнение методом Коши. Даю 50 поинтов

ОТВЕТЫ

Filipp

Nov 30, 2020

$1)x \sqrt{1 +{y}^{2} } dx + y \sqrt{1 +{x}^{2} } dy = 0 \\ y \sqrt{1 +{x}^{2} } dy =- x \sqrt{1 +{y}^{2} } dx \\∫\frac{ydy}{ \sqrt{1 +{y}^{2} } }= ∫ \frac{ - xdx}{ \sqrt{1 +{x}^{2} } }\\\frac{1}{2} ∫ \frac{2ydy}{ \sqrt{1 +{y}^{2} } }=-\frac{1}{2} ∫ \frac{2xdx}{ \sqrt{ {x}^{2} + 1 } }\\\frac{1}{2} ∫ \frac{d( {y}^{2}+ 1)}{ \sqrt{1 +{y}^{2} } }=-\frac{1}{2} ∫ \frac{d( {x}^{2}+ 1)}{ \sqrt{1 +{x}^{2} } }\\\frac{1}{2}\frac{ {(1 +{y)}^{ \frac{1}{2} } }}{ \frac{1}{2} }=-\frac{1}{2}\frac{ {( {x}^{2} + 1) }^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} }+ C \\\sqrt{1 +{y}^{2} }=-\sqrt{1 +{x}^{2} }+ C$

Это общее решение.

$2)(y + 2 \sqrt{xy} )dx - xdy = 0 \\ xdy = (y + 2 \sqrt{xy} )dx$

Разделим обе части на х:

$dy = ( \frac{y}{ x }+ 2 \sqrt{ \frac{xy}{ {x}^{2} } } )dx \\ y' =\frac{y}{x}+ 2 \sqrt{ \frac{y}{x} }$

Замена:

$\frac{y}{x}= U \\ y' = U'x + U$

$U'x + U = U + 2 \sqrt{U }\\ U'x = 2 \sqrt{U}\\\frac{dU}{dx} x = 2 \sqrt{U}\\ ∫ \frac{dU}{ \sqrt{U} }= 2∫ \frac{dx}{x}\\ 2 \sqrt{U}= 2 ln(x)+ C \\ 2 \sqrt{ \frac{y}{x} }= 2 ln(x)+ C \\\sqrt{ \frac{y}{x} }=ln(x)+ C$

Это общее решение.

Задача Коши:

$y(e) = e \\ 2 \sqrt{ \frac{e}{e} }= 2 ln(e)+ C \\ 2 = 2 + C \\ C = 0$

Получаем частное решение:

$\sqrt{ \frac{y}{x} }=ln(x)\\\frac{y}{x}={ ln(x) }^{2}\\ y = x { ln(x) }^{2}$

347