(xy+y^2) dx - x^2 dy=0

Question

Математика

Иван

5 год назад

(xy+y^2) dx - x^2 dy=0

ОТВЕТЫ

Емил

Nov 28, 2020

Другой человек сразу заметит, что дифференциальное уравнение является однородным и для него существенна замена $y=ux$ . Надеюсь этот же человек найдётся и решит, ну а я предоставлю другой способ решения.

$xy+y^2-x^2y'=0$

Разделим обе части уравнения на $-x^2y^2\ne 0$ , получаем

$\frac{y'}{y^2}-\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2}$

Далее домножим обе части уравнения на интегрирующий множитель $\mu(x)$ , который определен как $\mu(x)=e^{\int -\frac{1}{x}dx}=e^{-\ln |x|}=\frac{1}{x}$ .

$\dfrac{y'}{xy^2}-\dfrac{1}{x^2y}=\dfrac{1}{x^3}\\ \\ \dfrac{y'x-y}{x^2y^2}=\dfrac{1}{x^3}\\ \\ \Big(\dfrac{x}{y}\Big)'=\dfrac{1}{x}$

Проинтегрируем обе части уравнения

$\dfrac{x}{y}=\displaystyle \int \dfrac{dx}{x}\\ \\ \dfrac{x}{y}=\ln|x|+C\\ \\ \\ \boxed{y=\dfrac{x}{\ln|x|+C}}$

86