Как сделать так, чтобы все светодиоды включались и выключились одновременно?​

Один провод в вашем светильнике - заземление (к нему ведёт желтый проводок) для безопасности, потому что корпус металлический. Подключайте ваши провода к двум другим клеммам, всё будет работать и так.

На самом деле провод заземления в отечественных квартирах - явление крайне редкое, но когда он есть, тогда третья клемма никак не лишняя.