В некотором опыте возможно три элементарных события: a b и c. Вероятность того, что наступит либо событие a, либо событие b, равна 0,4; вероятность того, что наступит либо событие a, либо событие c, равна 0,7. Найдите вероятность каждого из элементарных событий.

Общая методика для решения задач, в которых встречается фраза "хотя бы один" такая:

Выписать исходное событие A = (Вероятность того, что ... хотя бы ...).

Сформулировать противоположное событие

ˉ

A

.

Найти вероятность события P(

ˉ

A

).

Найти искомую вероятность по формуле P(A)=1−P(

ˉ

A

).

А теперь разберем ее на примерах. Вперед!

Пример 1. В ящике находится 25 стандартных и 6 бракованных однотипных деталей. Какова вероятность того, что среди трёх наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?

Действуем прямо по пунктам.

1. Записываем событие, вероятность которого надо найти прямо из условия задачи:

A =(Из 3 выбранных деталей хотя бы одна бракованная).

2. Тогда противоположное событие формулируется так

ˉ

A

= (Из 3 выбранных деталей ни одной бракованной) = (Все 3 выбранные детали будут стандартные).

3. Теперь нужно понять, как найти вероятность события

ˉ

A

, для чего еще раз посмотрим на задачу: говорится об объектах двух видов (детали бракованные и нет), из которых вынимается некоторое число объектов и изучаются (бракованные или нет). Это задача решается с помощью классического определения вероятности (точнее, по формуле гипергеометрической вероятности, подробнее о ней читайте в статье).

Для первого примера запишем решение подробно, далее будем уже сокращать (а полные инструкции и калькуляторы вы найдете по ссылке выше).

Сначала найдем общее число исходов - это число способов выбрать любые 3 детали из партии в 25+6=31 деталей в ящике. Так как порядок выбора несущественнен, применяем формулу для числа сочетаний из 31 объектов по 3: n=C

3

31

.

Теперь переходим к числу благоприятствующих событию исходов. Для этого нужно, чтобы все 3 выбранные детали были стандартные, их можно выбрать m=C

3

25

способами (так как стандартных деталей в ящике ровно 25).

Вероятность равна:

P(

ˉ

A

)=

m

n

=

C

3

25

C

3

31

=

23⋅24⋅25

29⋅30⋅31

=

2300

4495

=0.512.

4. Тогда искомая вероятность:

P(A)=1−P(

ˉ

A

)=1−0.512=0.488.

: 0.488.

Пример 2. Из колоды в 36 карт берут наудачу 6 карт. Найти вероятность того, что среди взятых карт будут: хотя бы две пики.

1. Записываем событие A =(Из 6 выбранных карт будут хотя бы две пики).

2. Тогда противоположное событие формулируется так

ˉ

A

= (Из 6 выбранных карт будет менее 2 пик) = (Из 6 выбранных карт будет ровно 0 или 1 пиковые карты, остальные другой масти).

Замечание. Тут я остановлюсь и сделаю небольшое замечание. Хотя в 90% случаях методика "перейти к противоположному событию" работает на отлично, существуют случаи, когда проще найти вероятность исходного события. В данном случае, если искать напрямую вероятность события A потребуется сложить 5 вероятностей, а для события

ˉ

A

- всего 2 вероятности. А вот если бы задача была такая "из 6 карт хотя бы 5 - пиковые", ситуация стала бы обратной и тут проще решать исходную задачу. Если опять попытаться дать инструкцию, скажу так. В задачах, где видите "хотя бы один", смело переходите к противоположному событию. Если же речь о "хотя бы 2, хотя бы 4 и т.п.", тут надо прикинуть, что легче считать.

3. Возвращаемся к нашей задаче и находим вероятность события

ˉ

A

с помощью классического определения вероятности.

Общее число исходов (способов выбрать любые 6 карт из 36) равно n=C

6

36

(калькулятор сочетаний тут).

Найдем число благоприятствующих событию исходов. m0=C

6

27

- число способов выбрать все 6 карт непиковой масти (их в колоде 36-9=27), m1=C

1

9

⋅C

5

27

- число способов выбрать 1 карту пиковой масти (из 9) и еще 5 других мастей (из 27).

Тогда:

P(

ˉ

A

)=

m0+m1

n

=

C

6

27

+C

1

9

⋅C

5

27

C

6

36

=

85215

162316

=0.525.

4. Тогда искомая вероятность:

P(A)=1−P(

ˉ

A

)=1−0.525=0.475.

: 0.475.