Регистрация
Войти
Стать экспертом Правила
Алгебра

20 поинтов.Задание:log(2, cos(2x)+cos(x/2))+log(1/2, sin(x)+cos(x/2))=0;Ответ:см. img1;Нужно найти ход решения. Максимально подробно.

ОТВЕТЫ

\displaystyle log_{2}(cos(2x)+cos(\frac{x}{2}) ) +log_{\frac{1}{2} }( sin(x)+cos(\frac{x}{2}))=0

Меняем основание у второго логарифма

\displaystyle log_{2}(cos^{2}(x)-sin^{2}(x)+cos(\frac{x}{2}) ) -log_{2 }( sin(x)+cos(\frac{x}{2}))=0

Так как у нас разность двух логарифмов с одинаковым основанием, то мы можем соединить их в единую дробь

\displaystyle log_{2}(\frac{cos^{2}(x)-(1-cos^{2}(x))+cos(\frac{x}{2}) }{sin(x)+cos(\frac{x}{2}) })=0

\displaystyle log_{2}(\frac{2cos^{2}(x)-1+cos(\frac{x}{2}) }{sin(x)+cos(\frac{x}{2}) })=log_{2}1

Т.к. основания логарифмов одинаковы ⇒и выражения, стоящие под знаком логарифма, равны

\displaystyle \frac{2cos^{2}(x)-1+cos(\frac{x}{2}) }{sin(x)+cos(\frac{x}{2}) }=1

По методу пропорции

\displaystyle 2cos^{2}(x)-1+cos(\frac{x}{2}) =sin(x)+cos(\frac{x}{2})

\displaystyle 2cos^{2}(x)+cos(\frac{x}{2}) -sin(x)-cos(\frac{x}{2})=1

\displaystyle 2*(1-sin^{2}(x))-sin(x)=1

\displaystyle 2-2sin^{2}(x)-sin(x)=1

\displaystyle -2sin^{2}(x)-sin(x)-1+2=0 |:(-1)

\displaystyle 2sin^{2}(x)+sin(x)-1=0

Пусть sin(x)=t, -1≤t≤1, тогда:

\displaystyle 2t^{2}+t-1=0

D = 1²-4*2*(-1) = 1+8 = 9 = 3²

\displaystyle t_{1}=\frac{-1+3}{2*2}=\frac{2}{4} =\frac{1}{2}

\displaystyle t_{2}=\frac{-1-3}{2*2}=-\frac{4}{4} =-1

Вернёмся к замене:

\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}sin(x)=\frac{1}{2} \\sin(x)=-1\\\end{array}

\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}x=(-1)^{n}*arcsin\frac{1}{2}+\pi n \\x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n \\\end{array}

\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}x=(-1)^{n}*\frac{\pi }{6}+\pi n \\x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n \\\end{array} ,n∈Z

887
Смежные вопросы:
Здравствуйте Пожалуйста посчитайте пожалуйста срочно! (p+1)во второй степени, (p+2)вл второй
9. Мастер должен был выполнить задание за 8 дней. Одна-ко
Побудувати трикутник. . Провести в ньому 3 висоти​
СРОЧНО ПОМГИТЕ ПЖПЖПЖПЖПЖПЖ
Номер 94 задание 2 срочно
Контакты
Реклама на сайте
Спрошу
О проекте
Новым пользователям
Новым экспертам