Вычислить границы функций

Question

Другие предметы

GINSENG

4 год назад

Вычислить границы функций

ОТВЕТЫ

Прокл

Nov 5, 2020

а)

$\tt \displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{2 \cdot x^2 - 5 \cdot x + 2}{\sqrt{2 \cdot x^2+1} -3} = \lim_{x \to 2} \frac{(2 \cdot x^2 - 5 \cdot x + 2) \cdot (\sqrt{2 \cdot x^2+1} +3)}{(\sqrt{2 \cdot x^2+1} -3) \cdot (\sqrt{2 \cdot x^2+1} +3)} = \\\\ = \lim_{x \to 2} \frac{(2 \cdot x^2 - 5 \cdot x + 2) \cdot (\sqrt{2 \cdot x^2+1} +3)}{2 \cdot x^2+1 -9} = \\\\=\lim_{x \to 2} \frac{(2 \cdot x^2 - 5 \cdot x + 2) \cdot (\sqrt{2 \cdot x^2+1} +3)}{2 \cdot x^2 -8} =$

$\tt \displaystyle=\lim_{x \to 2} \frac{(2 \cdot x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (\sqrt{2 \cdot x^2+1} +3)}{2 \cdot (x -2) \cdot (x+2)} =\\\\=\lim_{x \to 2} \frac{(2 \cdot x - 1)\cdot (\sqrt{2 \cdot x^2+1} +3)}{2 \cdot (x+2)} =\\\\=\frac{(2 \cdot 2 - 1)\cdot (\sqrt{2 \cdot 2^2+1} +3)}{2 \cdot (2+2)} =\frac{3 \cdot (3 +3)}{2 \cdot 4} =\frac{18}{8} =\frac{9}{4} =2\frac{1}{4};$

б)

$\tt \displaystyle\lim_{x \to 0} sin2x \cdot ctg5x = \lim_{x \to 0} sin2x \cdot\frac{ cos5x}{sin5x}= \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot sin2x}{2x}\cdot\frac{ 5x }{ 5 \cdot sin5x} \cdot cos5x = \\\\= \frac{2}{5} \cdot \lim_{x \to 0} \left(\frac{sin2x}{2x} \right) \cdot \left(\frac{ 5x }{ sin5x} \right)\cdot cos5x = \\\\=\frac{2}{5} \cdot \lim_{x \to 0} \left(\frac{sin2x}{2x} \right) \cdot \lim_{x \to 0} \left(\frac{ 5x }{ sin5x} \right)\cdot \lim_{x \to 0} cos5x =$

$\tt \displaystyle =\frac{2}{5} \cdot 1 \cdot 1 \cdot cos0 =\frac{2}{5} \cdot 1 =\frac{2}{5};$

в)

$\tt \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3 \cdot x + 5}{5 \cdot x^3 + 7 \cdot x -1} =\lim_{x \to \infty} \frac{\dfrac{x^3}{x^3}- 3 \cdot \dfrac{x}{x^3} + \dfrac{5}{x^3}}{5 \cdot \dfrac{x^3}{x^3}+ 7 \cdot \dfrac{x}{x^3}-\dfrac{1}{x^3} } = \\\\=\lim_{x \to \infty} \frac{1- 3 \cdot \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{5}{x^3}}{5 \cdot 1+ 7 \cdot \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^3} } = \frac{1- 3 \cdot 0+ 0}{5 \cdot 1 + 7 \cdot 0-0 } = \frac{1}{5};$

г)

$\tt \displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1+ \frac{3}{2 \cdot x -1} \right )^{4 \cdot x-1} =\lim_{x \to \infty} \left(1+ \frac{1}{\dfrac{2 \cdot x -1}{3} } \right )^{2 \cdot (2 \cdot x-1)+1} = \\\\=\lim_{x \to \infty} \left(1+ \frac{1}{\dfrac{2 \cdot x -1}{3} } \right )^{2 \cdot (2 \cdot x-1)} \cdot \left(1+ \frac{1}{\dfrac{2 \cdot x -1}{3} } \right ) =$

$\tt \displaystyle=\lim_{x \to \infty} \left( \left(1+ \frac{1}{\dfrac{2 \cdot x -1}{3} } \right )^{\dfrac{2 \cdot x-1}{3} } \right )^6 \cdot \left(1+ \frac{1}{\dfrac{2 \cdot x -1}{3} } \right ) =e^6\cdot (1+0) =e^6.$

88