Докажите, что при каждом значении переменной a^2-2a+3 больше 0

Выделим полный квадрат из данного неравенства:

(а²-2а+1)+2>0

(a-1)²+2>0

Квадрат любого выражения больше 0, поэтому  при любом значении переменной выражение (a-1)²+2 будет больше 0.