В треугольнике ABC AB=12, AC=10, BC=8. Точки K, L и M лежат на прямых AB, BC и CA

Пусть P - произвольная точка

PK, PL, PM - перпендикуляры к сторонам треугольника ABC

По теореме Пифагора для треугольников PAK и PBK

PK^2 =PA^2 -AK^2 =PB^2 -BK^2 <=> PA^2 -PB^2 =AK^2 -BK^2

(Доказали, что разность квадратов наклонных равна разности квадратов их проекций.)

PB^2 -PC^2 =BL^2 -CL^2

PC^2 -PA^2 =CM^2 -AM^2

Сложим:

AK^2 -BK^2 +BL^2 -CL^2 +CM^2 -AM^2 =0 <=>

AK^2 +BL^2 +CM^2 =CL^2 +BK^2 +AM^2

Если перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке, то выполняется это равенство.

(Обратное док-во: разность квадратов наклонных для двух пересекающихся перпендикуляров подставляем в доказанное равенство - получаем разность квадратов наклонных для третьего отрезка - тогда он также является перпендикуляром.)

Проверим данные из условия

AK=BK=6, BL=AM=1

CM= {9, 11}

CL= {7, 9}

CM^2 =CL^2 в одном случае:

точка M на стороне, точка L на продолжении стороны.