почему Дмитрий Донской был убежден в том что наступает новое время когда его детям не придётся платить дань?​

Потому что он верил в то, что объединившись с другими князьями, они смогут победить монголо-татаров. Так в 1380 году произошло крупное сражение на Куликовом поле.  

Мамаево полчище было разбито и рассеяно.

Битва на поле Куликовом вселила в русских уверенность в то, что им под силу сбросить власть орды, и освобождение от неё стало делом времени.