у подобных треугольников площади равны? + или -​

Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соствующих сторон, то есть отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

ploshchadi-podobnyh-treugolnikovДано:

[Delta ABC sim Delta {A_1}{B_1}{C_1}]

Доказать:

[frac{{{S_{Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{Delta ABC}}}} = frac{{{A_1}B_1^2}}{{A{B^2}}} = frac{{{B_1}C_1^2}}{{B{C^2}}} = frac{{{A_1}C_1^2}}{{A{C^2}}} = {k^2}]

Площадь треугольника ABC может быть найдена, например, по двум сторонам и углу между ними:

[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2} cdot AB cdot AC cdot sin angle A.]

Аналогично,

[{S_{Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = frac{1}{2} cdot {A_1}{B_1} cdot {A_1}{C_1} cdot sin angle {A_1}.]

Так как углы подобных треугольников равны, а стороны — пропорциональны, то ∠A=∠A1,

[frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = k,]

то есть

[{A_1}{B_1} = k cdot AB,{B_1}{C_1} = k cdot BC.]

Теперь можем найти, как относятся площади подобных треугольников:

[frac{{{S_{Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{Delta ABC}}}} = frac{{frac{1}{2} cdot {A_1}{B_1} cdot {A_1}{C_1} cdot sin angle {A_1}}}{{frac{1}{2} cdot AB cdot AC cdot sin angle A}} = ]

[ = frac{{k cdot AB cdot k cdot ACsin angle A}}{{AB cdot AC cdot sin angle A}} = {k^2}.]

Так как

[k = frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}},]

то

[{k^2} = {(frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}})^2} = {(frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}})^2} = {(frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}})^2},]

то есть

[frac{{{S_{Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{Delta ABC}}}}= {(frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}})^2} = {(frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}})^2} = {(frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}})^2} = ]

[ = frac{{{A_1}B_1^2}}{{A{B^2}}} = frac{{{B_1}C_1^2}}{{B{C^2}}} = frac{{{A_1}C_1^2}}{{A{C^2}}}.]

Что и требовалось доказать.

Поскольку отношение любых линейных размеров (высот, медиан, биссектрис, периметров) подобных треугольников равно коэффициенту подобия, площади подобных треугольников относятся как квадраты их соствующих линейных размеров.