разделить x⁴+4на x²+2x+4

Замечаем, что при х=1

1+1-4-2+4=0

0=0 - верно, значит х=1 является корнем уравнения и можно разложить левую часть на множители, один из которых уже известен - это (х-1).

x⁴+x³-4x²-2x+4=(x-1)(x³+ax²+bx+c)

Наша задача найти коэффициенты а,b и с.

Раскроем скобки справа

x⁴+x³-4x²-2x+4=x⁴+ax³+bx²+cx-x³-ax²-bx-c;

x⁴+x³-4x²-2x+4=x⁴+(a-1)x³+(b-a)x²+(c-b)x-c;

Два многочлена равны, если степени этих многочленов одинаковые, и коэффициенты при соствующих степенях равны.

a-1=1⇒a=2

b-a=-4⇒b=a-4=2-4=-2

c-b=-2⇒c=b-2=-2-2=-4

-c=4⇒c=-4

Поэтому

x⁴+x³-4x²-2x+4=(x-1)(x³+2x²-2x-4)

Уравнение принимает вид:

(x-1)(x³+2x²-2x-4)=0

х-1=0илиx³+2x²-2x-4=0

х=1х²(х+2)-2(х+2)=0

(х+2)(х²-2)=0

х+2=0илих²-2=0

х=-2х=-√2;х=√2

О т в е т.-2; -√2; 1; √2 - корни уравнения

Можно было получить многочлен х³+ax²+bx+cподелив многочлен

на двучлен (х-1) " углом"

_x⁴+x³-4x²-2x+4|x-1

x⁴-x³x³+2x²-2x-4

----------------------------

_2x³ - 4x²-2x+4

2x³-2x²

---------------------------

_-2x²- 2x+ 4

-2x²+ 2x

--------------

_- 4x+ 4

- 4x+ 4

------------

0