3 задачи Всё на скрине

Question

Федул

5 год назад

ОТВЕТЫ

Първан

Oct 7, 2020

Попытаюсь решить.

1. Сразу ясно, что частица находится в параболической потенциальной яме, в таких условиях она является гармоническим осциллятором.

$L=E_k-U(x)=frac{m}{2}frac{dx}{dt}-frac{momega ^2x^2}{2}$

$mfrac{d^2x}{dt^2}+nabla U=0$

$mfrac{d^2x}{dt^2}+momega^2x=0$

$frac{d^2x}{dt^2}+omega^2x=0$ - классическое уравнение гармонического осциллятора, о чем было сказано в начале.

$x(t)=Asin(omega t+phi_0)$

Решим задачу Коши для указанных условий (примем начальную фазу для простоты за ноль)

1) Начальное положение частицы - положение равновесия, но есть отличная от нуля начальная скорость $x_0'$

$frac{dx(0)}{dt} =x_0'$

$Aomega cos(omega *0)=x'_0$

$A=frac{x_0'}{omega}$

$x(t)=frac{x_0'}{omega}sin(omega t)$

2) Здесь наоборот, частица выведена из положения равновесия, но не имеет начальной скорости, значит амплитуда сходу будет равна $x_0$ , а

$x(t)=x_0sin(omega t)$

2) Момент инерции вычисляется как интеграл следующего вида

$J=int {r^2} , dm=int {rho r^2} , dV$

Где dV - объем цилиндрического коаксиального слоя толщиной dr

$dV=2pi Hrdr$

$J=intlimits^R_0 {(2pirho Hr^3)} , dr= 2pi rho H intlimits^R_0 {r^3} , dr =2pi rho H frac{r^4}{4}|_0^R=frac{1}{2}pi rho HR^4$

3.

Центростремительное ускорение по внешнему радиусу тора должно совпасть с g₀

$omega ^2R=g_0$

Требуемая угловая частота вращения

$omega=sqrt{frac{g_0}{R} }$

$T=frac{2pi }{omega} =2pi sqrt{frac{R}{g_0} }=2pisqrt{frac{32}{g_0} }$

$n=frac{1}{T}=frac{1}{2pi }sqrt{frac{g_0}{32} }$ .

787